Конспект урока тригонометрические неравенства. Тема урока: Решение тригонометрических неравенств

Тема урока: Решение тригонометрических неравенств

Урок проведён в 11«а» классе школы №4 им. Горького г.Брянска (2007 г.).

Класс работает по учебнику

https://pandia.ru/text/80/202/images/image002_105.jpg" width="142 height=189" height="189">

Учитель : учитель высшей категории, заслуженный учитель РФ Нина Владимировна Кусачёва.

Цели урока :

1) Выявить приемы сведения тригонометрических неравенств к простейшим: рассмотрение сложного аргумента как простого; использование равносильных преобразований; применение тригонометрических формул.

2) Выявить способы решения тригонометрических неравенств: сведение к простейшему; введение новой переменной.

3) Научиться распознавать способы решения тригонометрических неравенств.

4) Научиться записывать ответ, если не используются табличные значения тригонометрических функций.

5) Совершенствовать умение решать тригонометрические неравенства.

6) Проверить умение решать простейшие тригонометрические неравенства.

Тип урока : урок совершенствования умений.

План урока :

1. Выявление приемов и способов решения тригонометрических неравенств, затруднений в выполнении домашнего задания через анализ решений наиболее сложных неравенств.

2. Совершенствование умения решать тригонометрические неравенства:

а) распознавание способов решения и повторение алгоритма решения простейших тригонометрических неравенств;

б) работа с простейшим неравенством, где для записи ответа не используются табличные значения;

в) совершенствование умения решать неравенства, сводимые к простейшим тригонометрическим с использованием равносильных преобразований через сравнение неравенств;

г) совершенствование умения решать неравенства, сводимые к простейшим тригонометрическим с использованием формул приведения;

д) совершенствование умения решать тригонометрические неравенства за счет использования нескольких способов решения.

3. Самостоятельная работа по решению тригонометрических неравенств.

4. Постановка домашнего задания.

Ход урока :

Учитель: (На доске записаны решения неравенств № 7, 8, 10 из домашней карточки).

Посмотрите на решение неравенства № 7. Какие у вас есть вопросы по какому-либо из этапов решения?

№7 sin x ≤ - cos x ;

sin x + cos x ≤0;

https://pandia.ru/text/80/202/images/image004_95.gif" width="24" height="41 src=">sin x + cos x ) ≤ 0;

https://pandia.ru/text/80/202/images/image005_84.gif" width="17" height="41">) ≤ 0;

sin (x + ) ≤ 0;

x + Î [ - π +2πn , 2πn ], n Î Z

x Î [ -5π/4 + 2πn ,- π/4+ 2πn ], n Î Z

Ответ: x Î [ -5π/4 +2πn ,- π/4+ 2πn ], n Î Z

Учитель: Тогда у меня есть несколько вопросов. Как была получена 3-я строка?

Учащиеся: Мы умножили и разделили каждое слагаемое на .

Учитель: Можно ли выполнять такое преобразование неравенства?

Учащиеся: Да, это преобразование является равносильным.

Учитель: С какой целью мы так поступали?

Учащиеся: Чтобы можно было применить тригонометрическую формулу сложения – синус суммы двух углов.

Учитель: Как иначе называется такой прием?

Учащиеся: Прием введения вспомогательного угла.

Учитель: Как догадались, что надо умножить и разделить каждое слагаемое именно на ?

Учащиеся: – это корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов в преобразуемом неравенстве.

Учитель: Назовите неравенство, которое можно считать простейшим и аргументируйте свой ответ.

Учащиеся: Неравенство sin (x + ) ≤ 0 можно считать простейшим, если рассматривать сложный аргумент (x + ) как простой, например, t .

Учитель: Итак, основной идеей решения неравенства № 7 является сведение к простейшему тригонометрическому неравенству. Давайте повторим, какие приёмы при этом использовали?

Учащиеся: 1) равносильные преобразования (перенос слагаемых; умножение и деление каждого слагаемого на одно и то же число; введение вспомогательного угла);

(Учитель помогает учащимся, указывая на ту или иную строчку решения).

Учитель: Посмотрите на решение неравенства № 8.

№ 8 sin 2x + https://pandia.ru/text/80/202/images/image007_69.gif" width="21" height="22">/2cos 2x ) ≥ 1;

2 sin (2x + π/3) ≥ 1;

sin (2x + π/3) ≥ 1/2;

2x + π/3 Î [π/6 + 2πn , 5π/6 + 2πn ], n Î Z;

x Î [-π/12 + πn , π/4 + πn ], n Î Z;

Ответ: x Î [-π/12 + πn , π/4 + πn ], n Î Z.

Какие у вас есть вопросы по какому-либо из этапов решения? (пауза) Какие приёмы использовали при решении этого неравенства?

Учащиеся: 1) равносильные преобразования (перенос слагаемых; умножение и деление каждого слагаемого на одно и то же число; введение вспомогательного угла, деление обеих частей неравенства на положительное число);

2) применение тригонометрической формулы,

3) рассматривали сложный аргумент как простой.

Учитель: Рассмотрите решение неравенства №10:

№10 cos 2 x – 2cos x >0;

Пусть cos x = t;

t 2 – 2t >0;

https://pandia.ru/text/80/202/images/image003_118.gif" width="22" height="21">;

2. cos (3π/2 + x ) < -/2;

3. cos (π + 2x ) – 1 ≥ 0;

4. sin x > 2/3;

5. 5cos (x – π/6) – 1 ≥ 0;

6. 4sin 2 3x < 3.

Учитель: Выделите неравенства, которые требуют применения равносильных преобразований при сведении тригонометрического неравенства к простейшему?

Учащиеся: 1, 3, 5.

Учитель: Назовите неравенства, в которых требуется рассмотреть сложный аргумент как простой?

Учащиеся: 1, 2, 3, 5, 6.

Учитель: Назовите неравенства, где можно применить тригонометрические формулы?

Учащиеся: 2, 3, 6.

Учитель: Назовите неравенства, где можно применить метод введения новой переменной?

Учащиеся: 6.

Учитель: Сейчас мы начнём решать неравенства с простейшего и научимся записывать ответ, если не используются табличные значения. Но вначале ответьте, верно ли, что простейшие тригонометрические неравенства можно решать по алгоритму, записанному на доске:

Алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств

1. Устно заменяем неравенство уравнением. Чертим единичную окружность и отмечаем на ней точки, соответствующие уравнению.

2. Отмечаем точки окружности, соответствующие неравенству, т. е. выделяем соответствующую дугу.

3. Указываем направление отсчёта.

4. Находим начало дуги и угол, ему соответствующий.

5. Находим угол, соответствующий концу дуги.

6. Записываем ответ в виде промежутка с учетом периодичности функции.

Учитель: В таком ли порядке вы решали простейшие неравенства?

Учащиеся: Да.

Комментарий. Задание на анализ списка неравенств с позиций способов их решения позволяет отработать их распознавание. При формировании умений важно выделять этапы его выполнения и формулировать их в общем виде, что и представлено в алгоритме решения простейших тригонометрических неравенств.

б) Работа с простейшим неравенством, где для записи ответа не используются табличные значения.

Учитель: Начнём решать с неравенства № 4.

Организация дальнейшей работы:

https://pandia.ru/text/80/202/images/image010_58.gif" width="204" height="130">Один ученик решает неравенство у доски, проговаривая каждый шаг алгоритма вслух

5cos (x – π/6) – 1 ≥ 0;

cos (x – π/6) ≥ 1/5;

x – π/6 Î [-arccos 1/5 + 2πn , arccos 1/5 + 2πn ], n Î Z;

x Î [π/6 – arccos 1/5 + 2πn , π/6 + arccos 1/5 + 2πn ], n Î Z.

По завершении решения учитель задает ученику, решавшему неравенство у доски, следующие вопросы:

Учитель: Как изменился бы ответ, если было дано строгое неравенство?

Учащийся: Тогда квадратные скобки заменили бы на круглые.

Учитель: Как бы записали ответ в случае, если было дано неравенство cos (x – π/6) ≤ 1/5?

Учащийся: x Î [π/6 + arccos 1/5 + 2πn , 13π/6 – arccos 1/5 + 2πn ], n Î Z.

Учитель: Какие способы сведения к простейшему тригонометрическому неравенству использовались?

Учащийся: Применяли равносильные преобразования (перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, деление обеих частей неравенства на положительное число); рассматривали сложный аргумент как простой.

Учитель: (обращаясь к классу); есть ли вопросы или замечания к отвечающему? (ученик отвечает на вопросы учащихся и соглашается или нет с замечаниями, затем садится на место).

Учитель: На какое неравенство похоже неравенство №1 и чем?

Учащиеся: На неравенство № 5 способом сведения к простейшему; на неравенство № 4 расположением дуги.

Учитель: Решите устно неравенство № 1: 2sin (x – π/4) ≥ .

Учащиеся: Ответ: x Î [ π/2 + 2πn , π + 2πn ], n Î Z.

Комментарий. Совершенствованию умения решать тригонометрические неравенства способствуют вопросы: «Каким способом будем решать группу неравенств?»; «Чем одно неравенство отличается от другого?»; «Чем одно неравенство похоже на другое?»; Как изменился бы ответ, если было дано строгое неравенство?»; Как изменился бы ответ, если было вместо знака «>» стоял знак «<»?»; «Какие способы сведения к простейшему тригонометрическому неравенству использовались при решении данного неравенства?»; «Есть ли вопросы или замечания к отвечающему?». Оправдана такая организация работы, когда один ученик у доски решает неравенство, проговаривая каждый шаг алгоритма вслух, поскольку предложенное неравенство № 5 содержит косинус, а не синус, как это было на предыдущем этапе. Совершенствованию умения решать тригонометрические неравенства способствует и устное решение с предварительным обсуждением некоторых опор: «На какое неравенство похоже данное и чем?».

г) Совершенствование умения решать неравенства, сводимые к простейшим тригонометрическим с использованием формул приведения.

Учитель: Рассмотрим неравенство № 2 cos (3π/2 + x )< -https://pandia.ru/text/80/202/images/image011_55.gif" width="217" height="126 src=">Желающий ученик решает неравенство у доски, не проговаривая решения:

cos (3π/2 + x )< -https://pandia.ru/text/80/202/images/image007_69.gif" width="21" height="22 src=">/2;

Ответ: x Î (- 2π/3 + 2πn ,-π/3 + 2πn ), n Î Z.

По завершении решения учащиеся проверяют оформление и, если необходимо, делают замечания. После чего учитель задает отвечающему следующие вопросы:

Учитель: Чем это неравенство отличается от решённых ранее?

Учащийся: Это неравенство было сведено к простейшему с использований формулы приведения.

Учитель: Есть ли еще неравенство, которое можно решить этим способом?

Учащийся: № 3.

Учитель: Устно решим неравенство, комментируя ход решения.

Учащиеся: (по порядку комментируют ход решения, учитель вносит изменения в неравенство)

№ 3 cos (π + 2x ) – 1 ≥ 0;

cos (π + 2x ) ≥ 1;

- cos 2x ≥ 1;

cos 2x ≤ -1

2x = -π + 2πn , n Î Z;

x = -π/2 + πn , n Î Z.

Учитель: Итак, какова особенность решения данного неравенства?

Учащиеся: Его решение свелось к решению уравнения.

Учитель: Итак, как вы будете действовать в дальнейшем, когда увидите, что аргумент у тригонометрической функции сложный?

Учащиеся: Мы посмотрим, нельзя ли использовать формулы приведения, чтобы упростить аргумент.

ТЕМА УРОКА: Решение простейших тригонометрических неравенств

Цель урока: показать алгоритм решения тригонометрических неравенств с использованием единичной окружности.

Задачи урока :

Образовательные – обеспечить повторение и систематизацию материала темы; создать условия контроля усвоения знаний и умений;

Развивающие – способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выявления главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти;

Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, мобильности, умения общаться, общей культуры.

Знания и навыки учащихся:
- знать алгоритм решения тригонометрических неравенств;

Уметь решать простейшие тригонометрические неравенства.

Оборудование: интерактивная доска, презентация к уроку, карточки с заданиями самостоятельной работы.

ХОД УРОКА:
1. Организационный момент (1 мин)

Девизом урока предлагаю слова Сухомлинского: « Сегодня – мы учимся вместе: я, ваш учитель и вы мои ученики. Но в будущем ученик должен превзойти учителя, иначе в науке не будет прогресса».

2. Разминка. Диктант «Верно - неверно»

3. Повторение

Для каждого варианта - задания на слайде, продолжите каждую запись. Время выполнения 3 мин.

Давайте выполним взаимопроверку этой нашей работы, используя таблицу ответов на доске.

Критерий оценки: «5» - все 9 «+», «4» - 8 «+», «3» - 6-7 «+»

4. Актуализация знаний учащихся (8 мин)
Сегодня на уроке мы должны усвоить понятие тригонометрического неравенства и овладеть навыками решения таких неравенств.
– Давайте вначале вспомним, что такое единичная окружность, радианная мера угла и как связан угол поворота точки на единичной окружности с радианной мерой угла. (работа с презентацией)

Единичная окружность - это окружность с радиусом 1 и центром в начале координат.

Угол, который образован положительным направлением оси OX и лучом OA, называется углом поворота. Важно запомнить, где находятся углы 0; 90; 180; 270; 360.

Если A перемещается против часовой стрелки, получаются положительные углы.

Если A перемещается по часовой стрелке, получаются отрицательные углы.

сos t – это абсцисса точки единичной окружности, sin t – ордината точки единичной окружности, t – угол поворота с координатами (1;0).
5 . Объяснение нового материала (17 мин )
Сегодня мы познакомимся с простейшими тригонометрическими неравенствами.
Определение.
Простейшими тригонометрическими неравенствами называют неравенства вида:

Как решить такие неравенств нам расскажут ребята (представление проектов учащимися с примерами). Определения и примеры учащиеся записывают в тетради.

В ходе выступления учащиеся объясняют решение неравенства, учитель дополняет рисунки на доске.
Алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств дается после выступления учащихся. Все этапы решения неравенства учащиеся видят на экране. Это способствует зрительному запоминанию алгоритма решения данной задачи.

Алгоритм решения тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности:
1. На оси, соответствующей заданной тригонометрической функции, отметить данное числовое значение этой функции.
2. Провести через отмеченную точку прямую, пересекающую единичную окружность.
3. Выделить точки пересечения прямой и окружности с учетом строгого или нестрогого знака неравенства.
4. Выделить дугу окружности, на которой расположены решения неравенства.
5. Определить значения углов в начальной и конечной точках дуги окружности.
6. Записать решение неравенства с учетом периодичности заданной тригонометрической функции.
Для решения неравенств с тангенсом и котангенсом полезно понятие о линии тангенсов и котангенсов. Таковыми являются прямые x = 1 и y = 1 соответственно, касающиеся тригонометрической окружности.
6. Практическая часть (12 мин)
Для отработки и закрепления теоретических знаний выполним небольшие задания. Каждый учащийся получает карточки с заданиями. Решив неравенства, нужно выбрать ответ и записать его номер.

7. Рефлексия деятельности на уроке
- Какая цель стояла перед нами?
- Назовите тему урока
- Получилось воспользоваться известным алгоритмом
- Проанализируйте свою работу на уроке.

8. Домашнее задание (2 мин)

Решите неравенство:

9. Итог урока (2 мин)

Предлагаю закончить урок словами Я.А.Коменского: “ Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию ”.

Дисциплина: Математика
Тема: «Решение простейших тригонометрических неравенств»
Три пути ведут к знанию: путь размышления
- это путь самый благородный, путь подражания
- это путь самый лёгкий и путь опыта – это путь
самый горький.
Конфуций
Номер занятия в теме: 1
Цель: научить обучающихся решать тригонометрические неравенства; закрепить данную тему в ходе решения заданий.
Задачи урока:
Обучающие: обогатить опыт обучающихся в получении новых знаний; формирование умения комплексного применения знаний, умений, навыков и их перенос в новые условия; проверка знаний, умений и навыков обучающихся по данной теме.
Развивающие: содействие развитию мыслительных операций: анализ, обобщение; формированию умений самооценки и взаимооценки.
Воспитательные: содействие формированию творческой деятельности обучающихся.
Тип урока: урок усвоения нового материала с элементами первичного закрепления.
Форма проведения: беседа, групповая работа обучающихся.
Метод обучения: объяснительно- иллюстрированный, репродуктивный, частично – поисковый.
Форма организации обучения: фронтальная, групповая письменная.
Оборудование:
Мультимедийный проектор.
Презентация с целеполаганием и заданиями.
Карточки с заданиями.
Карточки для проведения рефлексии, оценочные листы.
Карточки с разноуровневым домашним заданием.
Кружки с цифрами.
Формирование общих компетенций: ОК3.2, ОК3.3, ОК6.1, ОК6.3, ОК6.4.
План урока
1.Организационный момент. (2 мин.)
2.Целеполагание. (3 мин.)
3.Актуализация знаний и умений. (5 мин.)
4.Изучение нового материала (6 мин.)
5.Закрепление изученного материала. (20 мин.)
6.Разноуровневая работа в группах. (15 мин.)
7. «Защита» обучающимися выполненных работ. (10 мин.)
8.Подведение итогов урока, рефлексия. (6 мин.)
9.Домашнее задание. (3 мин.)
Технологическая карта урока
Этап урока Время Цель этапа Действия преподавателя Действия обучающихсяОжидаемый результат Оценка
эффект.
урока
1.Организационный
момент 2 мин. Цель для обучающихся:
-настроиться на работу;
-установить эмоциональныйдоверительный контакт педагогом-друг с другом
Цели для преподавателя:
-создать благоприятную психологическую атмосферу на уроке;
-включить всех обучающихся в работу.
Приветствую, создаю эмоциональныйнастрой на работу.
Ребята, доброе утро, я пришла к вам на урок вот с таким настроением
(показываю изображение солнца).
А какое у вас настроение? У вас на столе
лежат карточки с изображением солнца и тучи.
Покажите, какое у вас настроение. Обучающиеся сидят
за партами, настраиваются на работу,на взаимодействия.
Показывают карточку со своим
настроением. Обучающиеся настроены на учебную деятельность. 5
2.Целеполагание 3 мин. Цель для обучающихся:
-развивать мыслительную деятельность;
-формулировать цель урока
Цель для преподавателя:
-организация работы по целеполаганиюСообщаю тему урока, предлагаю обучающимся определить цели урока и
самостоятельно выбрать из предложенных трёх групп цели, которые они ставят для себя на данном уроке (использую мультимедийное оборудование)Выбирают цель, поднимают кружок с определённой цифрой: 1 группа-с цифрой 1; 2 группа- с цифрой 2; 3 группа- с цифрой 3 Каждый обучающийся выбрал свою цель урока. 4
3.Актуализация знаний и
умений 5 мин. Цель для обучающихся:
-определения что такое единичная окружность, линии синуса, косинуса, тангенса, котангенса.
Цель для преподавателя:
-актуализировать знания обучающихся. Организую работу.
Задаю вопрос: «Теперь вспомним понятия изученные ранее:
1. Дайте определение единичной окружности.
2. Дайте определение линии синуса;
3. Дайте определение линии косинуса;
4. Дайте определение линии тангенса;
5. Дайте определение линии котангенса;
Показываю на мультимедийном проекторе единичную окружность. Обучающиеся отвечают поставленные вопросы.
1) Единичной окружностью называется окружность с радиусом единица.
2) Отрезок [-1; 1]оси ординат- называют линией синуса;
3) Ось абсцисс называют линией косинуса;
4) Касательную к единичной окружности в точке (1;0) называют линией тангенса;
5) Касательную к единичной окружности в точке (1;0) называют линией котангенса.
Обучающиеся
успешно отвечают на поставленные вопросы. 5
4.Изучение нового материала 6 мин. Цель для обучающихся:
-запомнить алгоритм решения тригонометрических неравенств.
Цель для преподавателя:
-показать алгоритм решения тригонометрических неравенств. На прошлом уроке мы решали простейшие тригонометрические уравнения, сегодня узнаем, как с помощью единичной окружности решить простейшее тригонометрическое неравенство. Решение неравенств, содержащих тригонометрические функции, сводится, как правило, к решению простейших тригонометрических неравенств видаsin x ≤ a, cos x >a, tg x ≥a, ctg x Решение тригонометрических неравенств рассмотрим на конкретных примерах с помощью единичной окружности:
sin x ≤
Алгоритм решение данного неравенства:
Для начала определим
На Оу отмечаем значение и соответствующие точки на окружности;
Выделяем нижнюю часть окружности (обход совершаем против часовой стрелки).
Подписываем полученные точки. Обязательно учитываем, что начало дуги – меньшее значение.
Записываем ответ:
Слушают преподавателя, записывают алгоритм решения тригонометрических неравенств в тетрадь. Обучающиеся успешно работают в тетрадях. 4
5.Закрепление изученного материала 20 мин. Цель для обучающихся:
-научиться решать тригонометрические неравенства.
Цель для преподавателя:
-научить обучающихся решать тригонометрические неравенства. Аналогично по алгоритму, преподаватель и обучающиеся решают следующие примеры:
Cos x ≥;
Sin x

Урок №19-20 Тема: Тригонометрические неравенства

Тип урока: дифференцированный, проблемный.

Цель урока: Совершенствование навыков взаимодействия на уроке в группах, решая проблемные задачи. Развитие способности самооценки учащихся. Организация совместной учебной деятельности, дающая возможность формулировать и решать проблемные задачи.

Задачи урока:

Образовательная: Повторить алгоритмы решения тригонометрических неравенств; закрепить умения решения тригонометрических неравенств; познакомить учащихся с решением системы тригонометрических неравенств; разработать алгоритм решения системы тригонометрических неравенств; закрепить умение решение системы тригонометрических неравенств

Развивающая: Научить выдвигать гипотезу и умело доказательно отстаивать свое мнение. Уметь распознавать и решать проблемные задачи. Проверить умение обобщать и систематизировать свои знания.

Воспитательная: Повысить интерес к предмету и подготовить к решению более сложных задач.

Урок 1

1. Организационное введение. Постановка учебной задачи.

Класс делятся на три группы, которые объединяют учащихся одного уровня знаний.

I группа “А”

II группа “В”

III группа “С”

Учащиеся обучающиеся условно на “3”

Учащиеся обучающиеся условно на “4”

Учащиеся обучающиеся условно на “5”

Каждый учащийся получает лист личных достижений.

Учитель: Рассмотрите внимательно лист личных достижений. Впишите фамилию, имя и название группы. Тема нашего урока “Решение тригонометрических неравенств, систем неравенств”. Мы с вами сегодня

Повторим алгоритмы решения тригонометрических неравенств;

Закрепим умение решения тригонометрических неравенств;

Познакомимся с решением системы тригонометрических неравенств;

Разработаем алгоритм решения системы тригонометрических неравенств;

Закрепим умение решение системы тригонометрических неравенств;

Проведем матч с компьютером.

1. Повторение

Повторение алгоритма решения тригонометрических неравенств проводится с помощью слайдов. Учитель перед демонстрацией каждого слайда ставит задачу: “Проговорите алгоритм решения неравенства”, при этом вызывает 4-х учащихся по одному на каждый пункт алгоритма. Каждый учащийся проговаривает содержание одного из пунктов алгоритма и только потом появляется информация на слайде. Возможно, учащийся будет делать свои комментарии, в тексте эта часть ответа выделена курсивом.

Учитель: .

Учитель: Проговорите алгоритм решения неравенства

2. Работа в группах

Учитель раздает каждому ученику в группе альбомные листы, на которых нарисованы 3 числовые тригонометрические окружности. (Раздаточный материал дифференцированный)

Учитель: Каждому учащемуся надо решить 3 задания. В группе “А” одно задание проблемное (последнее). В группе “В” два задания проблемные (два последних). В группе “С” все задания проблемные. В течении 5 минут учащиеся, помогают друг другу разобраться с заданиями, затем в течении 10 минут учащиеся решают задания самостоятельно и по мере решения выходят к доске и закрепляют свои листочки с решением на доске.

Учитель проверяет по мере их вывешивания. За верно решенное задание ставиться “+”, за не верно решенное задание ставиться “-”. По истечению 10 минут решение прекращается и начинается в течение 5 минут разбор решенных заданий. Разбираются только проблемные задачи, но если есть необходимость, то можно разобрать и остальные задания.

Задания для учащихся по группам

I группа “А”

Задание №3 повышенной сложности для уровня “А”

II группа “В”

Задание №2 и №3 повышенной сложности для уровня “В”

III группа “С”

Все задания повышенной сложности для уровня

“С”

Учитель: Учащиеся соревнуются внутри группы (успевшие вывесить верные задания получают дополнительно за скорость 3 балла). А также соревнуются команды между собой (учащиеся команды получают по 3 балла дополнительно, если в этой команде было больше верно решенных заданий)

Дополнительные баллы за скорость выставляет учитель в последнюю графу.

2 урок

Индивидуальный зачет по проблемной теме

Учитель: Вспомним, как решается система неравенств вида:

Ответ:

Учитель вызывает к доске ученика из группы “С” для решения системы неравенств, учащиеся из группы “В” озвучивают решение с места.

Учитель: Перед каждой группой ставиться проблема в виде решения трех систем тригонометрических неравенств (каждая группа получает одинаковые системы, т.е. все учащиеся в равных условиях).

№1.

Ответ: .

: большая дуга.

И .

Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу : большая дуга.

Записать числовые значения граничных точек дуги: и .

Записать общее решение неравенства: .

3. Учащийся группы “С” (3 балла) (с места помогает учащийся из той же группы):

- Выделить пересечение дуг и определить числовые значения граничных точек получившихся дуг: и ; и .

Записать общее решение системы неравенств:

№2 Составьте алгоритм и решите систему тригонометрических неравенств вида:

Ответ: .

На обсуждение проблемы в группах дается 2 минуты, а затем учитель сам вызывает к доске учащихся, которые на заготовленных окружностях, при скрытой подсказке учителя, решают систему неравенств. Учитель вызывает учащихся из разных групп, предлагая выполнить задания различной сложности. Один учащийся работает у доски, а другой помогает с места.

Учащийся группы “А” (3 балла) (с места помогает учащийся из той же группы):

Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу : большая дуга.

Записать числовые значения граничных точек дуги: и .

Записать общее решение неравенства: .

2. Учащийся группы “В” (3 балла) (с места помогает учащийся из той же группы):

Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу : меньшая дуга.

Записать числовые значения граничных точек дуги: и . Составьте алгоритм и решите систему тригонометрических неравенств вида:

Ответ: .

Учащийся группы “А” (3 балла) (с места помогает учащийся из той же группы):

Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу .

5. Подведение итогов

Мы с вами:

Повторили алгоритмы решения тригонометрических неравенств;

Решали в группах тригонометрические неравенства, как простые, так и проблемные;

Разобрали решение 3 тригонометрических систем неравенств;

Разработали алгоритм решения системы тригонометрических неравенств в общем вид.

Дополнительная информация к уроку:

Приложение 1: Лист личных достижений.

Приложение 2: “Решение тригонометрических неравенств”

Приложение 3 “Решение системы тригонометрических неравенств”

Лист личных достижений

Фамилия, Имя _______________________________________

Группа____________________

1. Повторение (отметить галочкой):

0 б за не верный ответ ______

1 б за не четкий ответ ______

2 б за четкий ответ ______

3 б за умение найти и исправить ошибку ______

2. Работа в группах (отметить галочкой):

0 б за не решенное задание ______

1 б за ошибочное решение (ошибку исправил учитель) ______

2 б за ошибочное решение (ошибку исправил ученик) ______

3 б за правильное решение одного задания ______

3. Индивидуальный зачет по проблемной теме (отметить галочкой):

0 б за не участие в обсуждении проблемы _______

1 б за участие в обсуждении проблемы _______

2 б за активное обсуждение проблемы _______

3 б за умение составить алгоритм решения _______

Оцени свои знания

Тригонометрические неравенства. Решение простейших тригонометрических неравенств

Оборудование: ПК, проектор, экран, доска для маркеров.

Тип занятия: Изучение нового материала.

Тема занятия: Тригонометрические неравенства. Решение простейших тригонометрических неравенств.

Цели:

Образовательная цель:

сформировать навык решения простейших тригонометрических неравенств, используя графический метод решения неравенств;

познакомить студентов с основоположниками тригонометрии и историей ее развития.

Развивающая цель:

обеспечить условия для развития умений анализировать, выделять главное, устанавливать единые общие признаки и свойства;

применять знания на практике;

учиться критически оценивать свои знания.

Воспитательная цель:

воспитывать положительное отношение к знаниям;

воспитывать дисциплинированность и добросовестность при выполнении заданий;

воспитывать умение работать в парах (чувствовать индивидуальную ответственность за достижение результата).

Задачи:

повторить следующие темы по математике: решение квадратных неравенств графическим способом, преобразование графиков тригонометрических функций, понятие arcsin , arccos , arctg и arcctg числа, решение тригонометрических уравнений;

научить применять графический метод для решения простейших тригонометрических неравенств;

отработать навыки построения графиков тригонометрических функций;

расширить кругозор студентов об истории развития Тригонометрии;

для активизации познавательной деятельности студентов применять различные формы и методы работы на занятии: фронтальная, индивидуальная и групповая (работа в парах) формы работы, использование игровых технологий.

Структура занятия:

Организационный момент, проверка домашнего задания (5 мин.);

Актуализация опорных знаний и фиксация затруднений в деятельности (10 мин.);

Объяснение нового материала (15 мин.);

Экспертная работа (10 мин.);

Самостоятельная работа в парах (15 мин.);

Домашнее задание (5 мин.);

Игра «Поле чудес» (15 мин.);

Рефлексия деятельности (итог урока) (5 мин.).

Пояснение к занятию: во время занятия студенты выставляют баллы в Рабочую карту занятия согласно правилам, описанным в данной карте. В конце занятия подводится итог работы студентов по количеству набранных баллов.

Ход занятия:

Организационный момент, проверка домашнего задания (5 мин.) .

Французский писатель Анатоль Франс однажды заметил: «Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом.».

Давайте сегодня на занятии будем следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием.

Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте проверим домашнее задание на сегодня.

Проверка домашнего задания:

№ 151 (2, 4), № 153 (2), № 155 (2), № 157 (2)

За каждое правильно выполненное задание – 1 балл в рабочую карту занятия в колонку «Домашняя работа».

Актуализация опорных знаний и фиксация затруднений в деятельности (10 мин.).

Тема нашего занятия – Тригонометрические неравенства. Решение простейших тригонометрических неравенств.

Давайте запишем дату и тему занятия в тетрадь.

Перед Вами на сегодня стоит задача – научиться применять свои знания и умения для решения тригонометрических неравенств.

Давайте сначала поработаем устно, чтобы вспомнить те понятия и приемы, которые нам понадобятся для изучения новой темы.

Устная работа:

Объяснение нового материала (10 мин.).

Если вспомнить определение тригонометрического уравнения – это уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрической функции, тогда легко можно дать определение тригонометрического неравенства – это неравенство, содержащие переменную под знаком тригонометрической функции .

Для решения тригонометрических неравенств мы будем использовать графический метод.

Рассмотрим решение неравенства

Построим графики функций:
,
.

Определим точки пересечения данных графиков:

Заштрихуем область, при которой значения функции
больше

, если

Так как функция
периодическая (Т=
), значит,
,

Аналогично рассматривается решение неравенства

Ответ:
,

Экспертная работа (10 мин.).

К доске приглашаются студенты, хорошо разобравшиеся в материале и желающие ответить у доски, они будут выступать в роли экспертов, остальные студенты могут поправлять их решение по мере надобности с места.

Решить неравенства:

1.
Ответ:
,

2.
Ответ:
,

За работу у доски студенты получают 1-3 балла, за работу с места 1 балл.

Самостоятельная работа в парах (15 мин.).

Студенты выполняют задание, обмениваются тетрадями и проверяют работу соседа по парте, выставляя соответствующие баллы, ответы представлены на доске.

Для решения тригонометрических неравенств графическим способом можно использовать Приложение № 1 к данному занятию.

Вариант № 1

Решить неравенства:

Вариант № 2

Решить неравенства:

Ответ:

Ответ: решений нет, т. к.

Ответ:

За каждое верное задание №1-№3-1 балл, № 4 – 2 балла.

Подведение итогов изучения новой темы. Студентам необходимо ответить на вопросы преподавателя.

Какой метод мы использовали для решения тригонометрических неравенств?

Что необходимо предпринять, чтобы решить тригонометрическое неравенство графическим способом?

Как влияет периодичность тригонометрических функций на ответ при решении тригонометрических неравенств?

За каждый правильный ответ студенты получают 1 балл в рабочую карту занятия в колонку «Устная работа».

Домашнее задание (5 мин.).

Сборник задач по математике Н.В. Богомолов

Дополнительное задание:

Игра «Поле чудес» (20 мин.).

Игра построена по принципу одноименной телевизионной игры. Преподаватель читает задание, студенты могут открыть любую букву, если выполнят скрытое в данной ячейке задание.

За каждую угаданную букву (решенное задание) студенты получают 1 балл, за отгаданное слово – 5 баллов.

Задание № 1

Ответ: Тригонометрия

Рефлексия деятельности (итог урока) (5 мин.).

Рабочая карта занятия

Студента _________________________________ группы « »

о/т- оценка товарища, о/у- оценка учителя, с/о – самооценка, о/г-оценка группы

Домашняя работа

с/о

Общее количество баллов, по 1 за каждое правильно выполненное задание.

Итог: _____

Устная работа